Լուծեք 4x^2+15x-25=0

$$4 x ^ { 2 } + 15 x - 25 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-5$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-25։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=15 ab=4\left(-25\right)=-100$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -100 է։

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 15 գումար։

$$a=-5 b=20$$

Նորից գրեք 4x^{2}+15x-25-ը \left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Ֆակտորացրեք 4x-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(4x-5\right)\left(x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 4x-5=0-ն և x+5=0-ն։

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+15x-25=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 15-ը b-ով և -25-ը c-ով:

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

15-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-16\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -25:

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+400}}{2\times 4}$$

Գումարեք 225 400-ին:

$$x=\frac{-15±\sqrt{625}}{2\times 4}$$

Հանեք 625-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-15±25}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-15±25}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-15±25}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -15 25-ին:

$$x=\frac{10}{8}$$

Նվազեցնել \frac{10}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{5}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-15±25}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 25 -15-ից:

$$x=-\frac{40}{8}$$

Բաժանեք -40-ը 8-ի վրա:

$$x=-5$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+15x-25=0$$

Գումարեք 25 հավասարման երկու կողմին:

$$4x^{2}+15x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Հանելով -25 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+15x=-\left(-25\right)$$

Հանեք -25 0-ից:

$$4x^{2}+15x=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+15x}{4}=\frac{25}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{15}{4}x=\frac{25}{4}$$

Բաժանեք \frac{15}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{15}{8}-ը: Ապա գումարեք \frac{15}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{25}{4}+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{15}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{25}{4}+\frac{225}{64}$$

Գումարեք \frac{25}{4} \frac{225}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{625}{64}$$

Գործոն x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{625}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{15}{8}=\frac{25}{8} x+\frac{15}{8}=-\frac{25}{8}$$

Հանեք \frac{15}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$