Լուծեք 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1.5+1.58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1.5-1.58113883i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 12-ը b-ով և 19-ը c-ով:

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

12-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ 19:

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Գումարեք 144 -304-ին:

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Հանեք -160-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -12 4i\sqrt{10}-ին:

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Բաժանեք -12+4i\sqrt{10}-ը 8-ի վրա:

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 4i\sqrt{10} -12-ից:

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Բաժանեք -12-4i\sqrt{10}-ը 8-ի վրա:

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Հանեք 19 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Հանելով 19 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+12x=-19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Բաժանեք 12-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Բաժանեք 3-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{3}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{3}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{3}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Գումարեք -\frac{19}{4} \frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Գործոն x^{2}+3x+\frac{9}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$