Լուծեք 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-20։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -80 է։

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 11 գումար։

$$a=-5 b=16$$

Նորից գրեք 4x^{2}+11x-20-ը \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Ֆակտորացրեք 4x-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 4x-5=0-ն և x+4=0-ն։

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 11-ը b-ով և -20-ը c-ով:

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -20:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Գումարեք 121 320-ին:

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Հանեք 441-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±21}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -11 21-ին:

$$x=\frac{10}{8}$$

Նվազեցնել \frac{10}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{5}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±21}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 21 -11-ից:

$$x=-\frac{32}{8}$$

Բաժանեք -32-ը 8-ի վրա:

$$x=-4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Գումարեք 20 հավասարման երկու կողմին:

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Հանելով -20 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Հանեք -20 0-ից:

$$4x^{2}+11x=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Բաժանեք 20-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Բաժանեք \frac{11}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{11}{8}-ը: Ապա գումարեք \frac{11}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{11}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Գումարեք 5 \frac{121}{64}-ին:

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Գործոն x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Հանեք \frac{11}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$