Լուծեք 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 11 երկու կողմերից:

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4n^{2}+an+bn-11։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -44 է։

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -7 գումար։

$$a=-11 b=4$$

Նորից գրեք 4n^{2}-7n-11-ը \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)-ի տեսքով:

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Ֆակտորացրեք n-ը 4n^{2}-11n-ում։

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Ֆակտորացրեք 4n-11 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 4n-11=0-ն և n+1=0-ն։

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4n^{2}-7n=11$$

Հանեք 11 հավասարման երկու կողմից:

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Հանելով 11 իրենից՝ մնում է 0:

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -7-ը b-ով և -11-ը c-ով:

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7-ի քառակուսի:

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -11:

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Գումարեք 49 176-ին:

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Հանեք 225-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 թվի հակադրությունը 7 է:

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Այժմ լուծել n=\frac{7±15}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 7 15-ին:

$$n=\frac{22}{8}$$

Նվազեցնել \frac{22}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$n=\frac{11}{4}$$

Այժմ լուծել n=\frac{7±15}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 15 7-ից:

$$n=-\frac{8}{8}$$

Բաժանեք -8-ը 8-ի վրա:

$$n=-1$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4n^{2}-7n=11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Բաժանեք -\frac{7}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{7}{8}-ը: Ապա գումարեք -\frac{7}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{7}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Գումարեք \frac{11}{4} \frac{49}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Գումարեք \frac{7}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$