Լուծեք 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2.716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2.716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4x^{2}+4-ը 2x^{2}+1-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x^{2}-1\right)^{2}:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x^{4}-2x^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Հանեք 5x^{4} երկու կողմերից:

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Համակցեք 8x^{4} և -5x^{4} և ստացեք 3x^{4}:

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Հավելել 10x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Համակցեք 12x^{2} և 10x^{2} և ստացեք 22x^{2}:

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Հանեք 5 4-ից և ստացեք -1:

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Փոխարինեք t-ը x^{2}-ով:

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 22-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Լուծեք t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Քանի որ x=t^{2}, լուծումները ստացվում են գնահատելով x=±\sqrt{t}-ը յուրաքանչյուր t-ի համար:

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4x^{2}+4-ը 2x^{2}+1-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x^{2}-1\right)^{2}:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x^{4}-2x^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Հանեք 5x^{4} երկու կողմերից:

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Համակցեք 8x^{4} և -5x^{4} և ստացեք 3x^{4}:

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Հավելել 10x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Համակցեք 12x^{2} և 10x^{2} և ստացեք 22x^{2}:

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Հանեք 5 4-ից և ստացեք -1:

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Փոխարինեք t-ը x^{2}-ով:

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 22-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Լուծեք t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Քանի որ x=t^{2}, լուծումները ստացվում են գնահատելով x=±\sqrt{t}-ը դրական t-ի համար:

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$