Լուծեք 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x^{2}+2x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Հանեք 169 4-ից և ստացեք -165:

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-165։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -660 է։

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 8 գումար։

$$a=-22 b=30$$

Նորից գրեք 4x^{2}+8x-165-ը \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 15-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-11 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2x-11=0-ն և 2x+15=0-ն։

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x^{2}+2x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Հանեք 169 4-ից և ստացեք -165:

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 8-ը b-ով և -165-ը c-ով:

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

8-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -165:

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Գումարեք 64 2640-ին:

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Հանեք 2704-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-8±52}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -8 52-ին:

$$x=\frac{44}{8}$$

Նվազեցնել \frac{44}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{11}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-8±52}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 52 -8-ից:

$$x=-\frac{60}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-60}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=-\frac{15}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x^{2}+2x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Հանեք 169 4-ից և ստացեք -165:

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Հավելել 165-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$4x^{2}+8x=165$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Բաժանեք 8-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Բաժանեք 2-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 1-ը: Ապա գումարեք 1-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

1-ի քառակուսի:

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Գումարեք \frac{165}{4} 1-ին:

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Գործոն x^{2}+2x+1: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$