Լուծեք 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-15։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -60 է։

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -4 գումար։

$$a=-10 b=6$$

Նորից գրեք 4x^{2}-4x-15-ը \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2x-5=0-ն և 2x+3=0-ն։

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -4-ը b-ով և -15-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -15:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Գումարեք 16 240-ին:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Հանեք 256-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 թվի հակադրությունը 4 է:

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±16}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 4 16-ին:

$$x=\frac{20}{8}$$

Նվազեցնել \frac{20}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{5}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±16}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 16 4-ից:

$$x=-\frac{12}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-12}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=-\frac{3}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Հանելով -15 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Հանեք -15 0-ից:

$$4x^{2}-4x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Բաժանեք -4-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Գումարեք \frac{15}{4} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$