Լուծեք 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-7։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -28 է։

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -12 գումար։

$$a=-14 b=2$$

Նորից գրեք 4x^{2}-12x-7-ը \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-ը 4x^{2}-14x-ում։

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Ֆակտորացրեք 2x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2x-7=0-ն և 2x+1=0-ն։

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -12-ը b-ով և -7-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-12-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -7:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Գումարեք 144 112-ին:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Հանեք 256-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

-12 թվի հակադրությունը 12 է:

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{12±16}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 12 16-ին:

$$x=\frac{28}{8}$$

Նվազեցնել \frac{28}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{7}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{12±16}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 16 12-ից:

$$x=-\frac{4}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-4}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=-\frac{1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Հանելով -7 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Հանեք -7 0-ից:

$$4x^{2}-12x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Բաժանեք -12-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Բաժանեք -3-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{3}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{3}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{3}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Գումարեք \frac{7}{4} \frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Գործոն x^{2}-3x+\frac{9}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Գումարեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$