Լուծեք 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-6$$

$$x=5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 120 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x^{2}+x-30=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-30։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -30 է։

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 1 գումար։

$$a=-5 b=6$$

Նորից գրեք x^{2}+x-30-ը \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 6-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Ֆակտորացրեք x-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-5=0-ն և x+6=0-ն։

$$x=5 x=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+4x=120$$

Հանեք 120 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Հանելով 120 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 4-ը b-ով և -120-ը c-ով:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -120:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Գումարեք 16 1920-ին:

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Հանեք 1936-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±44}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -4 44-ին:

$$x=\frac{40}{8}$$

Բաժանեք 40-ը 8-ի վրա:

$$x=5$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±44}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 44 -4-ից:

$$x=-\frac{48}{8}$$

Բաժանեք -48-ը 8-ի վրա:

$$x=-6$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=5 x=-6$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+4x=120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Բաժանեք 4-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Բաժանեք 120-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+x=30$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 30 \frac{1}{4}-ին:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=5 x=-6$$