Լուծեք 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 31-ը a-ով, -3-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

-3-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 31:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Գումարեք 9 -124-ին:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Հանեք -115-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

-3 թվի հակադրությունը 3 է:

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 31:

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Այժմ լուծել x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 3 i\sqrt{115}-ին:

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Այժմ լուծել x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{115} 3-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$31x^{2}-3x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 31-ի:

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Բաժանելով 31-ի՝ հետարկվում է 31-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Բաժանեք -\frac{3}{31}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{3}{62}-ը: Ապա գումարեք -\frac{3}{62}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{3}{62}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Գումարեք -\frac{1}{31} \frac{9}{3844}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Գործոն x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Գումարեք \frac{3}{62} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$