Լուծեք 3z^2+3z+20=0

$$3 z ^ { 2 } + 3 z + 20 = 0$$

Լուծել z-ի համար

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+2.533114026i$$

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-2.533114026i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 3-ը b-ով և 20-ը c-ով:

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

3-ի քառակուսի:

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 20}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ 20:

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 3}$$

Գումարեք 9 -240-ին:

$$z=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 3}$$

Հանեք -231-ի քառակուսի արմատը:

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}$$

Այժմ լուծել z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -3 i\sqrt{231}-ին:

$$z=\frac{-3+\sqrt{231}i}{6}$$

Բաժանեք -3+i\sqrt{231}-ը 6-ի վրա:

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Այժմ լուծել z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{231} -3-ից:

$$z=\frac{-\sqrt{231}i-3}{6}$$

Բաժանեք -3-i\sqrt{231}-ը 6-ի վրա:

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$3z^{2}+3z+20-20=-20$$

Հանելով 20 իրենից՝ մնում է 0:

$$3z^{2}+3z=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3z^{2}+3z}{3}=-\frac{20}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$z^{2}+\frac{3}{3}z=-\frac{20}{3}$$

Բաժանեք 3-ը 3-ի վրա:

$$z^{2}+z=-\frac{20}{3}$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$z^{2}+z+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{20}{3}+\frac{1}{4}$$

Գումարեք -\frac{20}{3} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{77}{12}$$

Գործոն z^{2}+z+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{77}{12}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77}{12}}$$

Պարզեցնել:

$$z+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{231}i}{6} z+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{231}i}{6}$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$