Լուծեք 3x-2y+12=0text{dan}2x+5y-11=0

$$3 x - 2 y + 12 = 0 \text { dan } 2 x + 5 y - 11 = 0$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y+12=0,2x+5y-11=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y+12=0$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$3x-2y=-12$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -12+2y:

$$x=\frac{2}{3}y-4$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}-4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+5y-11=0:

$$2\left(\frac{2}{3}y-4\right)+5y-11=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{2y}{3}-4:

$$\frac{4}{3}y-8+5y-11=0$$

Գումարեք \frac{4y}{3} 5y-ին:

$$\frac{19}{3}y-8-11=0$$

Գումարեք -8 -11-ին:

$$\frac{19}{3}y-19=0$$

Գումարեք 19 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{19}{3}y=19$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\times 3-4$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 3:

$$x=2-4$$

Գումարեք -4 2-ին:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y+12=0,2x+5y-11=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\left(-12\right)+\frac{2}{19}\times 11\\-\frac{2}{19}\left(-12\right)+\frac{3}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y+12=0,2x+5y-11=0$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\times 12=0,3\times 2x+3\times 5y+3\left(-11\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$6x-4y+24=0,6x+15y-33=0$$

Հանեք 6x+15y-33=0 6x-4y+24=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-4y-15y+24+33=0$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-15y+24+33=0$$

Գումարեք -4y -15y-ին:

$$-19y+24+33=0$$

Գումարեք 24 33-ին:

$$-19y+57=0$$

Հանեք 57 հավասարման երկու կողմից:

$$-19y=-57$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 2x+5y-11=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+5\times 3-11=0$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 3:

$$2x+15-11=0$$

Գումարեք 15 -11-ին:

$$2x+4=0$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=3$$