Լուծեք 3x^2-3x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}\approx 1.263762616$$

$$x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}\approx -0.263762616$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3x^{2}-3x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, -3-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-3-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -1:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+12}}{2\times 3}$$

Գումարեք 9 12-ին:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{21}}{2\times 3}$$

-3 թվի հակադրությունը 3 է:

$$x=\frac{3±\sqrt{21}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{3±\sqrt{21}}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{3±\sqrt{21}}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 3 \sqrt{21}-ին:

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{6}$$

Բաժանեք 3+\sqrt{21}-ը 6-ի վրա:

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{3±\sqrt{21}}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք \sqrt{21} 3-ից:

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{6}$$

Բաժանեք 3-\sqrt{21}-ը 6-ի վրա:

$$x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3x^{2}-3x-1=0$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$3x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Հանելով -1 իրենից՝ մնում է 0:

$$3x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

Հանեք -1 0-ից:

$$3x^{2}-3x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}-3x}{3}=\frac{1}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{3}\right)x=\frac{1}{3}$$

Բաժանեք -3-ը 3-ի վրա:

$$x^{2}-x=\frac{1}{3}$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$

Գումարեք \frac{1}{3} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{12}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}}{6} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{6}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$