Լուծեք 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 2-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Գումարեք 4 -12-ին:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Հանեք -8-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -2 2i\sqrt{2}-ին:

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Բաժանեք -2+2i\sqrt{2}-ը 6-ի վրա:

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2i\sqrt{2} -2-ից:

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Բաժանեք -2-2i\sqrt{2}-ը 6-ի վրա:

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$3x^{2}+2x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Բաժանեք \frac{2}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{3}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{3}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{3}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Գումարեք -\frac{1}{3} \frac{1}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Գործոն x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Հանեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$