Լուծեք 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$3x+9-6y=0$$

Հանեք 9 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-6y=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 12-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-2x-2y=12$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-6y=-9$$

Գումարեք 6y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=6y-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 6y-9:

$$x=2y-3$$

Փոխարինեք 2y-3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-2y=12:

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 2y-3:

$$-4y+6-2y=12$$

Գումարեք -4y -2y-ին:

$$-6y+6=12$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-6y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=2y-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$x=-2-3$$

Գումարեք -3 -2-ին:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$3x+9-6y=0$$

Հանեք 9 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-6y=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 12-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-2x-2y=12$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-5,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$3x+9-6y=0$$

Հանեք 9 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-6y=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 12-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-2x-2y=12$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Պարզեցնել:

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Հանեք -6x-6y=36 -6x+12y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Գումարեք -6x 6x-ին: -6x-ը և 6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y+6y=18-36$$

Գումարեք 12y 6y-ին:

$$18y=18-36$$

Գումարեք 18 -36-ին:

$$18y=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով -2x-2y=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -1:

$$-2x+2=12$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=-1$$