Լուծեք 3x+2y=12,12=9x-2y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$9x-2y=12$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=12$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+12:

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{3}+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x-2y=12:

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-2y=12$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -\frac{2y}{3}+4:

$$-6y+36-2y=12$$

Գումարեք -6y -2y-ին:

$$-8y+36=12$$

Հանեք 36 հավասարման երկու կողմից:

$$-8y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 3:

$$x=-2+4$$

Գումարեք 4 -2-ին:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$9x-2y=12$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{3}{8}\times 12-\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$9x-2y=12$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

3x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Պարզեցնել:

$$27x+18y=108,27x-6y=36$$

Հանեք 27x-6y=36 27x+18y=108-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$27x-27x+18y+6y=108-36$$

Գումարեք 27x -27x-ին: 27x-ը և -27x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y+6y=108-36$$

Գումարեք 18y 6y-ին:

$$24y=108-36$$

Գումարեք 108 -36-ին:

$$24y=72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 24-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 9x-2y=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x-2\times 3=12$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3:

$$9x-6=12$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$9x=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$