Լուծեք 3x+10y=102,3x+7y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 7 y = 84$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=14$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+10y=102$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-10y+102$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -10y+102:

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Փոխարինեք -\frac{10y}{3}+34-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+7y=84:

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+7y=84$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{10y}{3}+34:

$$-10y+102+7y=84$$

Գումարեք -10y 7y-ին:

$$-3y+102=84$$

Հանեք 102 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=-\frac{10}{3}y+34-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{10}{3}\times 6+34$$

Բազմապատկեք -\frac{10}{3} անգամ 6:

$$x=-20+34$$

Գումարեք 34 -20-ին:

$$x=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=14,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-10\times 3}&-\frac{10}{3\times 7-10\times 3}\\-\frac{3}{3\times 7-10\times 3}&\frac{3}{3\times 7-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&\frac{10}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\times 102+\frac{10}{9}\times 84\\\frac{1}{3}\times 102-\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=14,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Հանեք 3x+7y=84 3x+10y=102-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+10y-7y=102-84$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y-7y=102-84$$

Գումարեք 10y -7y-ին:

$$3y=102-84$$

Գումարեք 102 -84-ին:

$$3y=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 3x+7y=84-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+7\times 6=84$$

Բազմապատկեք 7 անգամ 6:

$$3x+42=84$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=14,y=6$$