Լուծեք 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Լուծել r-ի համար

$$r=3$$

$$r=5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավելել 45-ը երկու կողմերում:

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$r^{2}-8r+15=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ r^{2}+ar+br+15։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 15 է։

$$-1,-15 -3,-5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -8 գումար։

$$a=-5 b=-3$$

Նորից գրեք r^{2}-8r+15-ը \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)-ի տեսքով:

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Դուրս բերել r-ը առաջին իսկ -3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Ֆակտորացրեք r-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք r-5=0-ն և r-3=0-ն։

$$r=5 r=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3r^{2}-24r=-45$$

Գումարեք 45 հավասարման երկու կողմին:

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Հանելով -45 իրենից՝ մնում է 0:

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Հանեք -45 0-ից:

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, -24-ը b-ով և 45-ը c-ով:

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-24-ի քառակուսի:

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ 45:

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Գումարեք 576 -540-ին:

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Հանեք 36-ի քառակուսի արմատը:

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 թվի հակադրությունը 24 է:

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Այժմ լուծել r=\frac{24±6}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 24 6-ին:

$$r=\frac{30}{6}$$

Բաժանեք 30-ը 6-ի վրա:

$$r=5$$

Այժմ լուծել r=\frac{24±6}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 6 24-ից:

$$r=\frac{18}{6}$$

Բաժանեք 18-ը 6-ի վրա:

$$r=3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$r=5 r=3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3r^{2}-24r=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Բաժանեք -24-ը 3-ի վրա:

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Բաժանեք -45-ը 3-ի վրա:

$$r^{2}-8r=-15$$

Բաժանեք -8-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -4-ը: Ապա գումարեք -4-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

-4-ի քառակուսի:

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Գումարեք -15 16-ին:

$$r^{2}-8r+16=1$$

Գործոն r^{2}-8r+16: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Պարզեցնել:

$$r-4=1 r-4=-1$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$r=5 r=3$$