Լուծեք 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0.833333333+3.157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0.833333333-3.157882554i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

Հանելով 10 իրենից՝ մնում է 0:

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

Հանեք 10 42-ից:

$$3x^{2}-5x+32=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, -5-ը b-ով և 32-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

-5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ 32:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

Գումարեք 25 -384-ին:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

Հանեք -359-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

-5 թվի հակադրությունը 5 է:

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 5 i\sqrt{359}-ին:

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{359} 5-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

Հանելով 42 իրենից՝ մնում է 0:

$$3x^{2}-5x=10-42$$

Հանեք 42 10-ից:

$$3x^{2}-5x=-32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Բաժանեք -\frac{5}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{6}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{6}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{6}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Գումարեք -\frac{32}{3} \frac{25}{36}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

Գործոն x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

Գումարեք \frac{5}{6} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$