Լուծեք 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx-60։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -180 է։

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -31 գումար։

$$a=-36 b=5$$

Նորից գրեք 3x^{2}-31x-60-ը \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Դուրս բերել 3x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Ֆակտորացրեք x-12 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-12=0-ն և 3x+5=0-ն։

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, -31-ը b-ով և -60-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -60:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Գումարեք 961 720-ին:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Հանեք 1681-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 թվի հակադրությունը 31 է:

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{31±41}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 31 41-ին:

$$x=\frac{72}{6}$$

Բաժանեք 72-ը 6-ի վրա:

$$x=12$$

Այժմ լուծել x=\frac{31±41}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 41 31-ից:

$$x=-\frac{10}{6}$$

Նվազեցնել \frac{-10}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{5}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Գումարեք 60 հավասարման երկու կողմին:

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Հանելով -60 իրենից՝ մնում է 0:

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Հանեք -60 0-ից:

$$3x^{2}-31x=60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Բաժանեք 60-ը 3-ի վրա:

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Բաժանեք -\frac{31}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{31}{6}-ը: Ապա գումարեք -\frac{31}{6}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{31}{6}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Գումարեք 20 \frac{961}{36}-ին:

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Գործոն x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Գումարեք \frac{31}{6} հավասարման երկու կողմին:

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$