Լուծեք 3^14x+2y=6,3x+6y=18

$$3 ^ { 14 } x + 2 y = 6,3 x + 6 y = 18$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4782969x+2y=6$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$4782969x=-2y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4782969-ի:

$$x=\frac{1}{4782969}\left(-2y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4782969} անգամ -2y+6:

$$x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+6y=18:

$$3\left(-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}\right)+6y=18$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}:

$$-\frac{2}{1594323}y+\frac{2}{531441}+6y=18$$

Գումարեք -\frac{2y}{1594323} 6y-ին:

$$\frac{9565936}{1594323}y+\frac{2}{531441}=18$$

Հանեք \frac{2}{531441} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{9565936}{1594323}y=\frac{9565936}{531441}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{9565936}{1594323}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{4782969}\times 3+\frac{2}{1594323}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{4782969} անգամ 3:

$$x=\frac{-2+2}{1594323}$$

Գումարեք \frac{2}{1594323} -\frac{2}{1594323}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4782969\times 6-2\times 3}&-\frac{2}{4782969\times 6-2\times 3}\\-\frac{3}{4782969\times 6-2\times 3}&\frac{4782969}{4782969\times 6-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}&-\frac{1}{14348904}\\-\frac{1}{9565936}&\frac{1594323}{9565936}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}\times 6-\frac{1}{14348904}\times 18\\-\frac{1}{9565936}\times 6+\frac{1594323}{9565936}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

4782969x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4782969-ով:

$$3\times 4782969x+3\times 2y=3\times 6,4782969\times 3x+4782969\times 6y=4782969\times 18$$

Պարզեցնել:

$$14348907x+6y=18,14348907x+28697814y=86093442$$

Հանեք 14348907x+28697814y=86093442 14348907x+6y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14348907x-14348907x+6y-28697814y=18-86093442$$

Գումարեք 14348907x -14348907x-ին: 14348907x-ը և -14348907x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-28697814y=18-86093442$$

Գումարեք 6y -28697814y-ին:

$$-28697808y=18-86093442$$

Գումարեք 18 -86093442-ին:

$$-28697808y=-86093424$$

Բաժանեք երկու կողմերը -28697808-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 3x+6y=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+6\times 3=18$$

Բազմապատկեք 6 անգամ 3:

$$3x+18=18$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=3$$