Լուծեք 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 23-ը a-ով, 11-ը b-ով և 9-ը c-ով:

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 23:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Բազմապատկեք -92 անգամ 9:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Գումարեք 121 -828-ին:

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Հանեք -707-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 23:

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -11 i\sqrt{707}-ին:

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{707} -11-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Հանելով 9 իրենից՝ մնում է 0:

$$23x^{2}+11x=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 23-ի:

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Բաժանելով 23-ի՝ հետարկվում է 23-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Բաժանեք \frac{11}{23}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{11}{46}-ը: Ապա գումարեք \frac{11}{46}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{11}{46}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Գումարեք -\frac{9}{23} \frac{121}{2116}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Գործոն x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Հանեք \frac{11}{46} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$