Լուծեք 20x-x^2=75

$$20 x - x ^ { 2 } = 75$$

Լուծել x-ի համար

$$x=5$$

$$x=15$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 75 երկու կողմերից:

$$20x-x^{2}-75=0$$

Վերադասավորեք բազնաբդանտ՝ բերելով այն ստանդարտ ձևի: Դասավորեք անդամները բարձրից ցածր:

$$-x^{2}+20x-75=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ -x^{2}+ax+bx-75։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=20 ab=-\left(-75\right)=75$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 75 է։

$$1,75 3,25 5,15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 20 գումար։

$$a=15 b=5$$

Նորից գրեք -x^{2}+20x-75-ը \left(-x^{2}+15x\right)+\left(5x-75\right)-ի տեսքով:

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(5x-75\right)$$

Դուրս բերել -x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$-x\left(x-15\right)+5\left(x-15\right)$$

Ֆակտորացրեք x-15 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-15\right)\left(-x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-15=0-ն և -x+5=0-ն։

$$x=15 x=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$-x^{2}+20x=75$$

Հանեք 75 հավասարման երկու կողմից:

$$-x^{2}+20x-75=75-75$$

Հանելով 75 իրենից՝ մնում է 0:

$$-x^{2}+20x-75=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -1-ը a-ով, 20-ը b-ով և -75-ը c-ով:

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

20-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -75:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2\left(-1\right)}$$

Գումարեք 400 -300-ին:

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Հանեք 100-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-20±10}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$x=\frac{-20±10}{-2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±10}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -20 10-ին:

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Բաժանեք -10-ը -2-ի վրա:

$$x=5$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±10}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 10 -20-ից:

$$x=-\frac{30}{-2}$$

Բաժանեք -30-ը -2-ի վրա:

$$x=15$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=5 x=15$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$-x^{2}+20x=75$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{75}{-1}$$

Բաժանելով -1-ի՝ հետարկվում է -1-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{75}{-1}$$

Բաժանեք 20-ը -1-ի վրա:

$$x^{2}-20x=\frac{75}{-1}$$

Բաժանեք 75-ը -1-ի վրա:

$$x^{2}-20x=-75$$

Բաժանեք -20-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -10-ը: Ապա գումարեք -10-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-75+\left(-10\right)^{2}$$

-10-ի քառակուսի:

$$x^{2}-20x+100=-75+100$$

Գումարեք -75 100-ին:

$$x^{2}-20x+100=25$$

Գործոն x^{2}-20x+100: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-10\right)^{2}=25$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Պարզեցնել:

$$x-10=5 x-10=-5$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$x=15 x=5$$