Լուծեք 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 20x^{2}+ax+bx-1։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -20 է։

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-5 b=4$$

Նորից գրեք 20x^{2}-x-1-ը \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)-ի տեսքով:

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք 5x-ը 20x^{2}-5x-ում։

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Ֆակտորացրեք 4x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 4x-1=0-ն և 5x+1=0-ն։

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$20x^{2}-x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 20-ը a-ով, -1-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 20:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Բազմապատկեք -80 անգամ -1:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Գումարեք 1 80-ին:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Հանեք 81-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 թվի հակադրությունը 1 է:

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 20:

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Այժմ լուծել x=\frac{1±9}{40} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 1 9-ին:

$$x=\frac{10}{40}$$

Նվազեցնել \frac{10}{40} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$x=\frac{1}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{1±9}{40} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 9 1-ից:

$$x=-\frac{8}{40}$$

Նվազեցնել \frac{-8}{40} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 8-ը:

$$x=-\frac{1}{5}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$20x^{2}-x-1=0$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Հանելով -1 իրենից՝ մնում է 0:

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Հանեք -1 0-ից:

$$20x^{2}-x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Բաժանելով 20-ի՝ հետարկվում է 20-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Բաժանեք -\frac{1}{20}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{40}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{40}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{40}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Գումարեք \frac{1}{20} \frac{1}{1600}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Գործոն x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Գումարեք \frac{1}{40} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$