Լուծեք 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y+5=0$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$2x-3y=-5$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y-5:

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y-5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+ky-2=0:

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{3y-5}{2}:

$$6y-10+ky-2=0$$

Գումարեք 6y ky-ին:

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

Գումարեք -10 -2-ին:

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$\left(k+6\right)y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6+k-ի:

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Փոխարինեք \frac{12}{6+k}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ \frac{12}{6+k}:

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Գումարեք -\frac{5}{2} \frac{18}{6+k}-ին:

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

Հանեք 8x+2ky-4=0 8x-12y+20=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Գումարեք -12y -2ky-ին:

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

Գումարեք 20 4-ին:

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-2k-ի:

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Փոխարինեք \frac{12}{6+k}-ը y-ով 4x+ky-2=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

Բազմապատկեք k անգամ \frac{12}{6+k}:

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

Գումարեք \frac{12k}{6+k} -2-ին:

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

Հանեք \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$