Լուծեք 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, -2-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -1:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Գումարեք 4 8-ին:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Հանեք 12-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 թվի հակադրությունը 2 է:

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 2 2\sqrt{3}-ին:

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Բաժանեք 2+2\sqrt{3}-ը 4-ի վրա:

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{3} 2-ից:

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Բաժանեք 2-2\sqrt{3}-ը 4-ի վրա:

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Հանելով -1 իրենից՝ մնում է 0:

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Հանեք -1 0-ից:

$$2x^{2}-2x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Բաժանեք -2-ը 2-ի վրա:

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Գումարեք \frac{1}{2} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$