Լուծեք 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-4$$

$$x=9$$

Լուծման քայլերը

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2x^{2}-10x-6-ի քառակուսի:

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}:

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 11 աստիճանը և ստացեք 121:

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x^{2}-5x} աստիճանը և ստացեք x^{2}-5x:

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 121 x^{2}-5x-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Հանեք 121x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Համակցեք 76x^{2} և -121x^{2} և ստացեք -45x^{2}:

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Հավելել 605x-ը երկու կողմերում:

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Համակցեք 120x և 605x և ստացեք 725x:

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է 36 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 4 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=-4$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 x+4-ի և ստացեք 4x^{3}-56x^{2}+179x+9: Լուծեք հավասարումը, որտեղ արդյունքը հավասարվում է 0:

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է 9 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 4 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=9$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 x-9-ի և ստացեք 4x^{2}-20x-1: Լուծեք հավասարումը, որտեղ արդյունքը հավասարվում է 0:

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -20-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Լուծեք 4x^{2}-20x-1=0 հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Թվարկեք բոլոր գտնված լուծումները:

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Փոխարինեք -4-ը x-ով 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} հավասարման մեջ:

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Պարզեցնել: x=-4 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$72=72$$

Փոխարինեք 9-ը x-ով 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} հավասարման մեջ:

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Պարզեցնել: x=9 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$72=72$$

Փոխարինեք \frac{5-\sqrt{26}}{2}-ը x-ով 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} հավասարման մեջ:

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Պարզեցնել: x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը։

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Փոխարինեք \frac{\sqrt{26}+5}{2}-ը x-ով 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} հավասարման մեջ:

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Պարզեցնել: x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը։

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}-ի բոլոր լուծումների ցուցակը։

$$x=-4 x=9$$