Լուծեք 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, 2-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Գումարեք 4 -8-ին:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Հանեք -4-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±2i}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -2 2i-ին:

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Բաժանեք -2+2i-ը 4-ի վրա:

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±2i}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2i -2-ից:

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Բաժանեք -2-2i-ը 4-ի վրա:

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$2x^{2}+2x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Բաժանեք 2-ը 2-ի վրա:

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Գումարեք -\frac{1}{2} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Գործոն x^{2}+x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$