Լուծեք 2x^2+15x=8x-5

$$2 x ^ { 2 } + 15 x = 8 x - 5$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Համակցեք 15x և -8x և ստացեք 7x:

$$2x^{2}+7x=-5$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 2x^{2}+ax+bx+5։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 10 է։

$$1,10 2,5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+10=11 2+5=7$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 7 գումար։

$$a=2 b=5$$

Նորից գրեք 2x^{2}+7x+5-ը \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)-ի տեսքով:

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Ֆակտորացրեք x+1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+1=0-ն և 2x+5=0-ն։

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Համակցեք 15x և -8x և ստացեք 7x:

$$2x^{2}+7x=-5$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում:

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, 7-ը b-ով և 5-ը c-ով:

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

7-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 5:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Գումարեք 49 -40-ին:

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Հանեք 9-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±3}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -7 3-ին:

$$x=-\frac{4}{4}$$

Բաժանեք -4-ը 4-ի վրա:

$$x=-1$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±3}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 3 -7-ից:

$$x=-\frac{10}{4}$$

Նվազեցնել \frac{-10}{4} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Համակցեք 15x և -8x և ստացեք 7x:

$$2x^{2}+7x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Բաժանեք \frac{7}{2}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{4}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{4}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{4}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Գումարեք -\frac{5}{2} \frac{49}{16}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Գործոն x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Հանեք \frac{7}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$