Լուծեք 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավելել x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Համակցեք 2x^{2} և x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Համակցեք 14x և -3x և ստացեք 11x:

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx-4։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -12 է։

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 11 գումար։

$$a=-1 b=12$$

Նորից գրեք 3x^{2}+11x-4-ը \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք 3x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x-1=0-ն և x+4=0-ն։

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Հավելել x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Համակցեք 2x^{2} և x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Համակցեք 14x և -3x և ստացեք 11x:

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 11-ը b-ով և -4-ը c-ով:

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -4:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Գումարեք 121 48-ին:

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Հանեք 169-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±13}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -11 13-ին:

$$x=\frac{2}{6}$$

Նվազեցնել \frac{2}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{1}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±13}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 13 -11-ից:

$$x=-\frac{24}{6}$$

Բաժանեք -24-ը 6-ի վրա:

$$x=-4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Հավելել x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Համակցեք 2x^{2} և x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Համակցեք 14x և -3x և ստացեք 11x:

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x^{2}+11x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

Բաժանեք \frac{11}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{11}{6}-ը: Ապա գումարեք \frac{11}{6}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{11}{6}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Գումարեք \frac{4}{3} \frac{121}{36}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Գործոն x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Հանեք \frac{11}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$