Լուծեք 2x=y+3,quady=3+x

$$2 x = y + 3 , \quad y = 3 + x$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-y=3,-x+y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-y=3$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ y+3:

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3+y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+y=3:

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{3+y}{2}:

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}+y=3$$

Գումարեք -\frac{y}{2} y-ին:

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=3$$

Գումարեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{2}y=\frac{9}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 9:

$$x=\frac{9+3}{2}$$

Գումարեք \frac{3}{2} \frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-y=3,-x+y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+3\\3+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-y=3,-x+y=3$$

2x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2x-\left(-y\right)=-3,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Պարզեցնել:

$$-2x+y=-3,-2x+2y=6$$

Հանեք -2x+2y=6 -2x+y=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x+y-2y=-3-6$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-2y=-3-6$$

Գումարեք y -2y-ին:

$$-y=-3-6$$

Գումարեք -3 -6-ին:

$$-y=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով -x+y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+9=3$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=9$$