Լուծեք 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Լուծել k-ի համար

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 2k^{2}+ak+bk+7։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 14 է։

$$1,14 2,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+14=15 2+7=9$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 9 գումար։

$$a=2 b=7$$

Նորից գրեք 2k^{2}+9k+7-ը \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)-ի տեսքով:

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Դուրս բերել 2k-ը առաջին իսկ 7-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Ֆակտորացրեք k+1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք k+1=0-ն և 2k+7=0-ն։

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$2k^{2}+9k=-7$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Հանելով -7 իրենից՝ մնում է 0:

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Հանեք -7 0-ից:

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, 9-ը b-ով և 7-ը c-ով:

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9-ի քառակուսի:

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 7:

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Գումարեք 81 -56-ին:

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Հանեք 25-ի քառակուսի արմատը:

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Այժմ լուծել k=\frac{-9±5}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -9 5-ին:

$$k=-\frac{4}{4}$$

Բաժանեք -4-ը 4-ի վրա:

$$k=-1$$

Այժմ լուծել k=\frac{-9±5}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 5 -9-ից:

$$k=-\frac{14}{4}$$

Նվազեցնել \frac{-14}{4} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$k=-\frac{7}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$2k^{2}+9k=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Բաժանեք \frac{9}{2}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{9}{4}-ը: Ապա գումարեք \frac{9}{4}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{9}{4}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Գումարեք -\frac{7}{2} \frac{81}{16}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Պարզեցնել:

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Հանեք \frac{9}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$