Լուծեք 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 15x^{2}+ax+bx+2։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 30 է։

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 11 գումար։

$$a=5 b=6$$

Նորից գրեք 15x^{2}+11x+2-ը \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)-ի տեսքով:

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Դուրս բերել 5x-ը առաջին իսկ 2-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Ֆակտորացրեք 3x+1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x+1=0-ն և 5x+2=0-ն։

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 15-ը a-ով, 11-ը b-ով և 2-ը c-ով:

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 15:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Բազմապատկեք -60 անգամ 2:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Գումարեք 121 -120-ին:

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Հանեք 1-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 15:

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±1}{30} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -11 1-ին:

$$x=-\frac{10}{30}$$

Նվազեցնել \frac{-10}{30} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±1}{30} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 1 -11-ից:

$$x=-\frac{12}{30}$$

Նվազեցնել \frac{-12}{30} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 6-ը:

$$x=-\frac{2}{5}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Հանելով 2 իրենից՝ մնում է 0:

$$15x^{2}+11x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Բաժանելով 15-ի՝ հետարկվում է 15-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Բաժանեք \frac{11}{15}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{11}{30}-ը: Ապա գումարեք \frac{11}{30}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{11}{30}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Գումարեք -\frac{2}{15} \frac{121}{900}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Գործոն x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Հանեք \frac{11}{30} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$