Լուծեք 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 15x^{2}+ax+bx-4։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -60 է։

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 4 գումար։

$$a=-6 b=10$$

Նորից գրեք 15x^{2}+4x-4-ը \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)-ի տեսքով:

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Դուրս բերել 3x-ը առաջին իսկ 2-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Ֆակտորացրեք 5x-2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 5x-2=0-ն և 3x+2=0-ն։

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 15-ը a-ով, 4-ը b-ով և -4-ը c-ով:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 15:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Բազմապատկեք -60 անգամ -4:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Գումարեք 16 240-ին:

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Հանեք 256-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 15:

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±16}{30} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -4 16-ին:

$$x=\frac{12}{30}$$

Նվազեցնել \frac{12}{30} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 6-ը:

$$x=\frac{2}{5}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±16}{30} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 16 -4-ից:

$$x=-\frac{20}{30}$$

Նվազեցնել \frac{-20}{30} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Հանելով -4 իրենից՝ մնում է 0:

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Հանեք -4 0-ից:

$$15x^{2}+4x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Բաժանելով 15-ի՝ հետարկվում է 15-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Բաժանեք \frac{4}{15}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{2}{15}-ը: Ապա գումարեք \frac{2}{15}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{2}{15}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Գումարեք \frac{4}{15} \frac{4}{225}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Գործոն x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Հանեք \frac{2}{15} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$