Լուծեք 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Լուծել r-ի համար

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 12r^{2}+ar+br-15։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -180 է։

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -11 գումար։

$$a=-20 b=9$$

Նորից գրեք 12r^{2}-11r-15-ը \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)-ի տեսքով:

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Դուրս բերել 4r-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Ֆակտորացրեք 3r-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3r-5=0-ն և 4r+3=0-ն։

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 12-ը a-ով, -11-ը b-ով և -15-ը c-ով:

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11-ի քառակուսի:

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 12:

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Բազմապատկեք -48 անգամ -15:

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Գումարեք 121 720-ին:

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Հանեք 841-ի քառակուսի արմատը:

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 թվի հակադրությունը 11 է:

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 12:

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Այժմ լուծել r=\frac{11±29}{24} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 11 29-ին:

$$r=\frac{40}{24}$$

Նվազեցնել \frac{40}{24} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 8-ը:

$$r=\frac{5}{3}$$

Այժմ լուծել r=\frac{11±29}{24} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 29 11-ից:

$$r=-\frac{18}{24}$$

Նվազեցնել \frac{-18}{24} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 6-ը:

$$r=-\frac{3}{4}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Հանելով -15 իրենից՝ մնում է 0:

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Հանեք -15 0-ից:

$$12r^{2}-11r=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Բաժանելով 12-ի՝ հետարկվում է 12-ով բազմապատկումը:

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Նվազեցնել \frac{15}{12} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 3-ը:

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Բաժանեք -\frac{11}{12}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{11}{24}-ը: Ապա գումարեք -\frac{11}{24}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{11}{24}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Գումարեք \frac{5}{4} \frac{121}{576}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Գործոն r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Պարզեցնել:

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Գումարեք \frac{11}{24} հավասարման երկու կողմին:

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$