Լուծեք 11x^2-31x-6=0

$$11 x ^ { 2 } - 31 x - 6 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

$$x=3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 11x^{2}+ax+bx-6։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-31 ab=11\left(-6\right)=-66$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -66 է։

$$1,-66 2,-33 3,-22 6,-11$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-66=-65 2-33=-31 3-22=-19 6-11=-5$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -31 գումար։

$$a=-33 b=2$$

Նորից գրեք 11x^{2}-31x-6-ը \left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right)-ի տեսքով:

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right)$$

Դուրս բերել 11x-ը առաջին իսկ 2-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$11x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Ֆակտորացրեք x-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-3\right)\left(11x+2\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-3=0-ն և 11x+2=0-ն։

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 11-ը a-ով, -31-ը b-ով և -6-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

-31-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 11:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-44\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Բազմապատկեք -44 անգամ -6:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+264}}{2\times 11}$$

Գումարեք 961 264-ին:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1225}}{2\times 11}$$

Հանեք 1225-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-31\right)±35}{2\times 11}$$

-31 թվի հակադրությունը 31 է:

$$x=\frac{31±35}{2\times 11}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 11:

$$x=\frac{31±35}{22}$$

Այժմ լուծել x=\frac{31±35}{22} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 31 35-ին:

$$x=\frac{66}{22}$$

Բաժանեք 66-ը 22-ի վրա:

$$x=3$$

Այժմ լուծել x=\frac{31±35}{22} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 35 31-ից:

$$x=-\frac{4}{22}$$

Նվազեցնել \frac{-4}{22} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{2}{11}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$11x^{2}-31x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Հանելով -6 իրենից՝ մնում է 0:

$$11x^{2}-31x=-\left(-6\right)$$

Հանեք -6 0-ից:

$$11x^{2}-31x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$\frac{11x^{2}-31x}{11}=\frac{6}{11}$$

Բաժանելով 11-ի՝ հետարկվում է 11-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{31}{11}x=\frac{6}{11}$$

Բաժանեք -\frac{31}{11}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{31}{22}-ը: Ապա գումարեք -\frac{31}{22}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{6}{11}+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{31}{22}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{6}{11}+\frac{961}{484}$$

Գումարեք \frac{6}{11} \frac{961}{484}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{1225}{484}$$

Գործոն x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{1225}{484}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{484}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{31}{22}=\frac{35}{22} x-\frac{31}{22}=-\frac{35}{22}$$

Գումարեք \frac{31}{22} հավասարման երկու կողմին:

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$