Լուծեք -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -4-ը a-ով, 20-ը b-ով և -47-ը c-ով:

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

20-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -4:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Բազմապատկեք 16 անգամ -47:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Գումարեք 400 -752-ին:

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Հանեք -352-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -4:

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -20 4i\sqrt{22}-ին:

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Բաժանեք -20+4i\sqrt{22}-ը -8-ի վրա:

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 4i\sqrt{22} -20-ից:

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Բաժանեք -20-4i\sqrt{22}-ը -8-ի վրա:

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Գումարեք 47 հավասարման երկու կողմին:

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Հանելով -47 իրենից՝ մնում է 0:

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Հանեք -47 0-ից:

$$-4x^{2}+20x=47$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Բաժանելով -4-ի՝ հետարկվում է -4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Բաժանեք 20-ը -4-ի վրա:

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Բաժանեք 47-ը -4-ի վրա:

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Բաժանեք -5-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Գումարեք -\frac{47}{4} \frac{25}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Գործոն x^{2}-5x+\frac{25}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$