Լուծեք -x^2+14x-40=0

$$- x ^ { 2 } + 14 x - 40 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=4$$

$$x=10$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ -x^{2}+ax+bx-40։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=14 ab=-\left(-40\right)=40$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 40 է։

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 14 գումար։

$$a=10 b=4$$

Նորից գրեք -x^{2}+14x-40-ը \left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right)-ի տեսքով:

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right)$$

Դուրս բերել -x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$-x\left(x-10\right)+4\left(x-10\right)$$

Ֆակտորացրեք x-10 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-10\right)\left(-x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-10=0-ն և -x+4=0-ն։

$$x=10 x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -1-ը a-ով, 14-ը b-ով և -40-ը c-ով:

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

14-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -40:

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\left(-1\right)}$$

Գումարեք 196 -160-ին:

$$x=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Հանեք 36-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-14±6}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$x=\frac{-14±6}{-2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-14±6}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -14 6-ին:

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Բաժանեք -8-ը -2-ի վրա:

$$x=4$$

Այժմ լուծել x=\frac{-14±6}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 6 -14-ից:

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Բաժանեք -20-ը -2-ի վրա:

$$x=10$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=4 x=10$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Գումարեք 40 հավասարման երկու կողմին:

$$-x^{2}+14x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Հանելով -40 իրենից՝ մնում է 0:

$$-x^{2}+14x=-\left(-40\right)$$

Հանեք -40 0-ից:

$$-x^{2}+14x=40$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{40}{-1}$$

Բաժանելով -1-ի՝ հետարկվում է -1-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{40}{-1}$$

Բաժանեք 14-ը -1-ի վրա:

$$x^{2}-14x=\frac{40}{-1}$$

Բաժանեք 40-ը -1-ի վրա:

$$x^{2}-14x=-40$$

Բաժանեք -14-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -7-ը: Ապա գումարեք -7-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

-7-ի քառակուսի:

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Գումարեք -40 49-ին:

$$x^{2}-14x+49=9$$

Գործոն x^{2}-14x+49: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Պարզեցնել:

$$x-7=3 x-7=-3$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$x=10 x=4$$