Լուծեք (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Լուծել d-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right.$$

Քայլեր՝ գծային հավասարում լուծելու համար

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,2,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Արտահայտությունները գումարելու կամ հանելու համար ընդարձակեք դրանք, որպեսզի հայտարարները նույնը դառնան: 3-ի և 2-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 6 է: Բազմապատկեք \frac{y^{3}}{3} անգամ \frac{2}{2}: Բազմապատկեք \frac{x^{2}}{2} անգամ \frac{3}{3}:

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Քանի որ \frac{2y^{3}}{6}-ը և \frac{3x^{2}}{6}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 12 y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}-ով բազմապատկելու համար:

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Չեղարկել ամենամեծ ընդհանուր գործոն 6-ը 12-ում և 6-ում:

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 2y^{3}+3x^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 12y+4y^{3}+6x^{2} d-ով բազմապատկելու համար:

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d x-ով բազմապատկելու համար:

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+xy^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3x+3xy^{2} d-ով բազմապատկելու համար:

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3xd+3xy^{2}d y-ով բազմապատկելու համար:

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Համակցեք 12ydx և 3xdy և ստացեք 15ydx:

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Համակցեք 4y^{3}dx և 3xdy^{3} և ստացեք 7y^{3}dx:

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Համակցեք d պարունակող բոլոր անդամները:

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

Հավասարումն այժմ ստանդարտ ձևով է:

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Բաժանեք 0-ը 15yx+7y^{3}x+6x^{3}-ի վրա:

$$d=0$$

Լուծել x-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$