Լուծեք (x-1)^2+(x+2)^2-(x-3)(x+3)=22

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 22$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-4$$

$$x=2$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք -2x և 4x և ստացեք 2x:

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Դիտարկեք \left(x-3\right)\left(x+3\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Գումարեք 5 և 9 և ստացեք 14:

$$x^{2}+2x+14=22$$

Հանեք 22 երկու կողմերից:

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Հանեք 22 14-ից և ստացեք -8:

$$x^{2}+2x-8=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+2x-8-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=2 ab=-8$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -8 է։

$$-1,8 -2,4$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 2 գումար։

$$a=-2 b=4$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-2=0-ն և x+4=0-ն։

$$x=2 x=-4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք -2x և 4x և ստացեք 2x:

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Դիտարկեք \left(x-3\right)\left(x+3\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Գումարեք 5 և 9 և ստացեք 14:

$$x^{2}+2x+14=22$$

Հանեք 22 երկու կողմերից:

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Հանեք 22 14-ից և ստացեք -8:

$$x^{2}+2x-8=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-8։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -8 է։

$$-1,8 -2,4$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 2 գումար։

$$a=-2 b=4$$

Նորից գրեք x^{2}+2x-8-ը \left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Ֆակտորացրեք x-2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-2=0-ն և x+4=0-ն։

$$x=2 x=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք -2x և 4x և ստացեք 2x:

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Դիտարկեք \left(x-3\right)\left(x+3\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Գումարեք 5 և 9 և ստացեք 14:

$$x^{2}+2x+14=22$$

Հանեք 22 երկու կողմերից:

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Հանեք 22 14-ից և ստացեք -8:

$$x^{2}+2x-8=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 2-ը b-ով և -8-ը c-ով:

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -8:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+32}}{2}$$

Գումարեք 4 32-ին:

$$x=\frac{-2±\sqrt{36}}{2}$$

Հանեք 36-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-2±6}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±6}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -2 6-ին:

$$x=\frac{4}{2}$$

Բաժանեք 4-ը 2-ի վրա:

$$x=2$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±6}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 6 -2-ից:

$$x=-\frac{8}{2}$$

Բաժանեք -8-ը 2-ի վրա:

$$x=-4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=2 x=-4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Համակցեք -2x և 4x և ստացեք 2x:

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Դիտարկեք \left(x-3\right)\left(x+3\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Գումարեք 5 և 9 և ստացեք 14:

$$x^{2}+2x+14=22$$

Հանեք 14 երկու կողմերից:

$$x^{2}+2x=22-14$$

Հանեք 14 22-ից և ստացեք 8:

$$x^{2}+2x=8$$

Բաժանեք 2-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 1-ը: Ապա գումարեք 1-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

1-ի քառակուսի:

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Գումարեք 8 1-ին:

$$x^{2}+2x+1=9$$

Գործոն x^{2}+2x+1: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Պարզեցնել:

$$x+1=3 x+1=-3$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$x=2 x=-4$$