Լուծեք (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$x=1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Համակցեք x^{2} և 4x^{2} և ստացեք 5x^{2}:

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Համակցեք -2x և 8x և ստացեք 6x:

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Հանեք 16 երկու կողմերից:

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Հանեք 16 5-ից և ստացեք -11:

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 5x^{2}+ax+bx-11։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -55 է։

$$-1,55 -5,11$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 6 գումար։

$$a=-5 b=11$$

Նորից գրեք 5x^{2}+6x-11-ը \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)-ի տեսքով:

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Դուրս բերել 5x-ը առաջին իսկ 11-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-1=0-ն և 5x+11=0-ն։

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Համակցեք x^{2} և 4x^{2} և ստացեք 5x^{2}:

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Համակցեք -2x և 8x և ստացեք 6x:

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Հանեք 16 երկու կողմերից:

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Հանեք 16 5-ից և ստացեք -11:

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 5-ը a-ով, 6-ը b-ով և -11-ը c-ով:

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

6-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 5:

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Բազմապատկեք -20 անգամ -11:

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Գումարեք 36 220-ին:

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Հանեք 256-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 5:

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-6±16}{10} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -6 16-ին:

$$x=\frac{10}{10}$$

Բաժանեք 10-ը 10-ի վրա:

$$x=1$$

Այժմ լուծել x=\frac{-6±16}{10} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 16 -6-ից:

$$x=-\frac{22}{10}$$

Նվազեցնել \frac{-22}{10} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{11}{5}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+2\right)^{2}:

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Համակցեք x^{2} և 4x^{2} և ստացեք 5x^{2}:

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Համակցեք -2x և 8x և ստացեք 6x:

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Հանեք 5 16-ից և ստացեք 11:

$$5x^{2}+6x=11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Բաժանելով 5-ի՝ հետարկվում է 5-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Բաժանեք \frac{6}{5}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{3}{5}-ը: Ապա գումարեք \frac{3}{5}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{3}{5}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Գումարեք \frac{11}{5} \frac{9}{25}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Գործոն x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Հանեք \frac{3}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$