Լուծեք (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+3\right)^{2}:

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Դիտարկեք \left(3x-8\right)\left(3x+8\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 8-ի քառակուսի:

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Ընդարձակեք \left(3x\right)^{2}:

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Համակցեք x^{2} և 9x^{2} և ստացեք 10x^{2}:

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Հանեք 64 9-ից և ստացեք -55:

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Գումարեք -55 և 1 և ստացեք -54:

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x^{2}+3x+6-ով բազմապատկելու համար:

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Հանեք 3x^{2} երկու կողմերից:

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Համակցեք 10x^{2} և -3x^{2} և ստացեք 7x^{2}:

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Համակցեք 6x և -9x և ստացեք -3x:

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Հանեք 18 երկու կողմերից:

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Հանեք 18 -54-ից և ստացեք -72:

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 7x^{2}+ax+bx-72։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -504 է։

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -3 գումար։

$$a=-24 b=21$$

Նորից գրեք 7x^{2}-3x-72-ը \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)-ի տեսքով:

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Ֆակտորացրեք 7x-24 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 7x-24=0-ն և x+3=0-ն։

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+3\right)^{2}:

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Դիտարկեք \left(3x-8\right)\left(3x+8\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 8-ի քառակուսի:

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Ընդարձակեք \left(3x\right)^{2}:

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Համակցեք x^{2} և 9x^{2} և ստացեք 10x^{2}:

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Հանեք 64 9-ից և ստացեք -55:

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Գումարեք -55 և 1 և ստացեք -54:

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x^{2}+3x+6-ով բազմապատկելու համար:

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Հանեք 3x^{2} երկու կողմերից:

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Համակցեք 10x^{2} և -3x^{2} և ստացեք 7x^{2}:

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Համակցեք 6x և -9x և ստացեք -3x:

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Հանեք 18 երկու կողմերից:

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Հանեք 18 -54-ից և ստացեք -72:

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 7-ը a-ով, -3-ը b-ով և -72-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-3-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 7:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Բազմապատկեք -28 անգամ -72:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Գումարեք 9 2016-ին:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Հանեք 2025-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

-3 թվի հակադրությունը 3 է:

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 7:

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Այժմ լուծել x=\frac{3±45}{14} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 3 45-ին:

$$x=\frac{48}{14}$$

Նվազեցնել \frac{48}{14} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{24}{7}$$

Այժմ լուծել x=\frac{3±45}{14} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 45 3-ից:

$$x=-\frac{42}{14}$$

Բաժանեք -42-ը 14-ի վրա:

$$x=-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+3\right)^{2}:

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Դիտարկեք \left(3x-8\right)\left(3x+8\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 8-ի քառակուսի:

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Ընդարձակեք \left(3x\right)^{2}:

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Համակցեք x^{2} և 9x^{2} և ստացեք 10x^{2}:

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Հանեք 64 9-ից և ստացեք -55:

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Գումարեք -55 և 1 և ստացեք -54:

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x^{2}+3x+6-ով բազմապատկելու համար:

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Հանեք 3x^{2} երկու կողմերից:

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Համակցեք 10x^{2} և -3x^{2} և ստացեք 7x^{2}:

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Համակցեք 6x և -9x և ստացեք -3x:

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Հավելել 54-ը երկու կողմերում:

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Գումարեք 18 և 54 և ստացեք 72:

$$7x^{2}-3x=72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Բաժանելով 7-ի՝ հետարկվում է 7-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Բաժանեք -\frac{3}{7}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{3}{14}-ը: Ապա գումարեք -\frac{3}{14}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{3}{14}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Գումարեք \frac{72}{7} \frac{9}{196}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Գործոն x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Գումարեք \frac{3}{14} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$