Լուծեք (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(9-5x\right)^{2}:

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(9-5x\right)^{2}:

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 81-90x+25x^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Գումարեք 81 և 162 և ստացեք 243:

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Համակցեք -90x և -180x և ստացեք -270x:

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Համակցեք 25x^{2} և 50x^{2} և ստացեք 75x^{2}:

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Հանեք 24 243-ից և ստացեք 219:

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Անհավասարումը լուծելու համար բազմապատկիչների վերածեք ձախ կողմը: Քառակուսի բազմանդամը կարող է բազմապատկիչների վերածվել՝ օգտագործելով հետևյալ փոխակերպումը՝ ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), որտեղ x_{1}-ը և x_{2}-ը ax^{2}+bx+c=0 քառակուսային հավասարման լուծումներն են։

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 75-ը a-ով, -270-ը b-ով և 219-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Լուծեք x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Նորից գրեք անհավասարումը՝ օգտագործելով ստացված լուծումները:

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Որպեսզի արտադրյալը բացասական լինի x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}-ը և x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}-ը պետք է հակադիր նշաններ ունենան: Դիտարկեք այն դեպքը, երբ x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}-ը դրական է, իսկ x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}-ը բացասական է:

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Սա սխալ է ցանկացած x-ի դեպքում:

$$x\in \emptyset$$

Դիտարկեք այն դեպքը, երբ x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}-ը դրական է, իսկ x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}-ը բացասական է:

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Երկու անհավասարումները բավարարող լուծումը x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right) է:

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Վերջնական լուծումը ստացված լուծումները միավորումն է:

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$