Լուծեք (5x-2)^2-(3x+4)^2=0

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$x=3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x-2\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x+4\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Համակցեք 25x^{2} և -9x^{2} և ստացեք 16x^{2}:

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Համակցեք -20x և -24x և ստացեք -44x:

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Հանեք 16 4-ից և ստացեք -12:

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-3։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -12 է։

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -11 գումար։

$$a=-12 b=1$$

Նորից գրեք 4x^{2}-11x-3-ը \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Ֆակտորացրեք 4x-ը 4x^{2}-12x-ում։

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Ֆակտորացրեք x-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-3=0-ն և 4x+1=0-ն։

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x-2\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x+4\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Համակցեք 25x^{2} և -9x^{2} և ստացեք 16x^{2}:

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Համակցեք -20x և -24x և ստացեք -44x:

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Հանեք 16 4-ից և ստացեք -12:

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 16-ը a-ով, -44-ը b-ով և -12-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

-44-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 16:

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Բազմապատկեք -64 անգամ -12:

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Գումարեք 1936 768-ին:

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Հանեք 2704-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

-44 թվի հակադրությունը 44 է:

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 16:

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Այժմ լուծել x=\frac{44±52}{32} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 44 52-ին:

$$x=\frac{96}{32}$$

Բաժանեք 96-ը 32-ի վրա:

$$x=3$$

Այժմ լուծել x=\frac{44±52}{32} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 52 44-ից:

$$x=-\frac{8}{32}$$

Նվազեցնել \frac{-8}{32} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 8-ը:

$$x=-\frac{1}{4}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x-2\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x+4\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Համակցեք 25x^{2} և -9x^{2} և ստացեք 16x^{2}:

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Համակցեք -20x և -24x և ստացեք -44x:

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Հանեք 16 4-ից և ստացեք -12:

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Հավելել 12-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$16x^{2}-44x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

Բաժանելով 16-ի՝ հետարկվում է 16-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

Նվազեցնել \frac{-44}{16} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

Նվազեցնել \frac{12}{16} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Բաժանեք -\frac{11}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{11}{8}-ը: Ապա գումարեք -\frac{11}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{11}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Գումարեք \frac{3}{4} \frac{121}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Գործոն x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Գումարեք \frac{11}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$