Լուծեք (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x+7\right)^{2}:

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Հանեք 16 երկու կողմերից:

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Հանեք 16 49-ից և ստացեք 33:

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 25x^{2}+ax+bx+33։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 825 է։

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 70 գումար։

$$a=15 b=55$$

Նորից գրեք 25x^{2}+70x+33-ը \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)-ի տեսքով:

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Դուրս բերել 5x-ը առաջին իսկ 11-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Ֆակտորացրեք 5x+3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 5x+3=0-ն և 5x+11=0-ն։

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x+7\right)^{2}:

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Հանեք 16 երկու կողմերից:

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Հանեք 16 49-ից և ստացեք 33:

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 25-ը a-ով, 70-ը b-ով և 33-ը c-ով:

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

70-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 25:

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Բազմապատկեք -100 անգամ 33:

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Գումարեք 4900 -3300-ին:

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Հանեք 1600-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 25:

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-70±40}{50} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -70 40-ին:

$$x=-\frac{30}{50}$$

Նվազեցնել \frac{-30}{50} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-70±40}{50} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 40 -70-ից:

$$x=-\frac{110}{50}$$

Նվազեցնել \frac{-110}{50} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 10-ը:

$$x=-\frac{11}{5}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x+7\right)^{2}:

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Հանեք 49 երկու կողմերից:

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Հանեք 49 16-ից և ստացեք -33:

$$25x^{2}+70x=-33$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Բաժանելով 25-ի՝ հետարկվում է 25-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Նվազեցնել \frac{70}{25} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 5-ը:

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Բաժանեք \frac{14}{5}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{5}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{5}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{5}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Գումարեք -\frac{33}{25} \frac{49}{25}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Գործոն x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Հանեք \frac{7}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$