Լուծեք (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-18$$

$$x=6$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}:

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 16 և 3-ով և ստացեք 48:

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Չեղարկել ամենամեծ ընդհանուր գործոն 2-ը 8-ում և 2-ում:

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2}-ը աստիճան բարձրացնելու համար և համարիչը, և հայտարարը բարձրացրեք աստիճան, ապա բաժանեք:

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Արտահայտությունները գումարելու կամ հանելու համար ընդարձակեք դրանք, որպեսզի հայտարարները նույնը դառնան: Բազմապատկեք 48 անգամ \frac{2^{2}}{2^{2}}:

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Քանի որ \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}-ը և \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}-ով բազմապատկելու համար:

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 48 և 4-ով և ստացեք 192:

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ընդարձակեք \left(x\sqrt{3}\right)^{2}:

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Արտահայտել 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}-ը մեկ կոտորակով:

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Չեղարկել 4-ը և 4-ը:

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 16 և 3-ով և ստացեք 48:

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Համակցեք x^{2}\times 3 և x^{2} և ստացեք 4x^{2}:

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Հանեք 624 երկու կողմերից:

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Հանեք 624 192-ից և ստացեք -432:

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Վերադասավորեք բազնաբդանտ՝ բերելով այն ստանդարտ ձևի: Դասավորեք անդամները բարձրից ցածր:

$$x^{2}+12x-108=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-108։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -108 է։

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 12 գումար։

$$a=-6 b=18$$

Նորից գրեք x^{2}+12x-108-ը \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 18-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Ֆակտորացրեք x-6 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-6=0-ն և x+18=0-ն։

$$x=6 x=-18$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}:

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 16 և 3-ով և ստացեք 48:

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Չեղարկել ամենամեծ ընդհանուր գործոն 2-ը 8-ում և 2-ում:

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2}-ը աստիճան բարձրացնելու համար և համարիչը, և հայտարարը բարձրացրեք աստիճան, ապա բաժանեք:

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Արտահայտությունները գումարելու կամ հանելու համար ընդարձակեք դրանք, որպեսզի հայտարարները նույնը դառնան: Բազմապատկեք 48 անգամ \frac{2^{2}}{2^{2}}:

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Քանի որ \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}-ը և \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}-ով բազմապատկելու համար:

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 48 և 4-ով և ստացեք 192:

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ընդարձակեք \left(x\sqrt{3}\right)^{2}:

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Արտահայտել 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}-ը մեկ կոտորակով:

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Չեղարկել 4-ը և 4-ը:

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 16 և 3-ով և ստացեք 48:

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Համակցեք x^{2}\times 3 և x^{2} և ստացեք 4x^{2}:

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Հանեք 624 երկու կողմերից:

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Հանեք 624 192-ից և ստացեք -432:

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 48-ը b-ով և -432-ը c-ով:

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

48-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -432:

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Գումարեք 2304 6912-ին:

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Հանեք 9216-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-48±96}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -48 96-ին:

$$x=\frac{48}{8}$$

Բաժանեք 48-ը 8-ի վրա:

$$x=6$$

Այժմ լուծել x=\frac{-48±96}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 96 -48-ից:

$$x=-\frac{144}{8}$$

Բաժանեք -144-ը 8-ի վրա:

$$x=-18$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=6 x=-18$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}:

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 16 և 3-ով և ստացեք 48:

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Չեղարկել ամենամեծ ընդհանուր գործոն 2-ը 8-ում և 2-ում:

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2}-ը աստիճան բարձրացնելու համար և համարիչը, և հայտարարը բարձրացրեք աստիճան, ապա բաժանեք:

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Արտահայտությունները գումարելու կամ հանելու համար ընդարձակեք դրանք, որպեսզի հայտարարները նույնը դառնան: Բազմապատկեք 48 անգամ \frac{2^{2}}{2^{2}}:

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Քանի որ \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}-ը և \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}-ով բազմապատկելու համար:

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 48 և 4-ով և ստացեք 192:

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ընդարձակեք \left(x\sqrt{3}\right)^{2}:

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Արտահայտել 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}-ը մեկ կոտորակով:

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Չեղարկել 4-ը և 4-ը:

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Բազմապատկեք 16 և 3-ով և ստացեք 48:

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Համակցեք x^{2}\times 3 և x^{2} և ստացեք 4x^{2}:

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Հանեք 192 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Հանեք 192 624-ից և ստացեք 432:

$$4x^{2}+48x=432$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Բաժանեք 48-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Բաժանեք 432-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+12x=108$$

Բաժանեք 12-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 6-ը: Ապա գումարեք 6-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

6-ի քառակուսի:

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Գումարեք 108 36-ին:

$$x^{2}+12x+36=144$$

Գործոն x^{2}+12x+36: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Պարզեցնել:

$$x+6=12 x+6=-12$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$x=6 x=-18$$