Լուծեք (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x-4\right)^{2}:

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+3\right)^{2}:

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

x^{2}+6x+9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Համակցեք 9x^{2} և -x^{2} և ստացեք 8x^{2}:

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Համակցեք -24x և -6x և ստացեք -30x:

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Հանեք 9 16-ից և ստացեք 7:

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 8x^{2}+ax+bx+7։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 56 է։

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -30 գումար։

$$a=-28 b=-2$$

Նորից գրեք 8x^{2}-30x+7-ը \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)-ի տեսքով:

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Դուրս բերել 4x-ը առաջին իսկ -1-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2x-7=0-ն և 4x-1=0-ն։

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x-4\right)^{2}:

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+3\right)^{2}:

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

x^{2}+6x+9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Համակցեք 9x^{2} և -x^{2} և ստացեք 8x^{2}:

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Համակցեք -24x և -6x և ստացեք -30x:

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Հանեք 9 16-ից և ստացեք 7:

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 8-ը a-ով, -30-ը b-ով և 7-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

-30-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 8:

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Բազմապատկեք -32 անգամ 7:

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Գումարեք 900 -224-ին:

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Հանեք 676-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

-30 թվի հակադրությունը 30 է:

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 8:

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Այժմ լուծել x=\frac{30±26}{16} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 30 26-ին:

$$x=\frac{56}{16}$$

Նվազեցնել \frac{56}{16} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 8-ը:

$$x=\frac{7}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{30±26}{16} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 26 30-ից:

$$x=\frac{4}{16}$$

Նվազեցնել \frac{4}{16} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{1}{4}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x-4\right)^{2}:

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+3\right)^{2}:

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

x^{2}+6x+9-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Համակցեք 9x^{2} և -x^{2} և ստացեք 8x^{2}:

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Համակցեք -24x և -6x և ստացեք -30x:

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Հանեք 9 16-ից և ստացեք 7:

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Հանեք 7 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$8x^{2}-30x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Բաժանելով 8-ի՝ հետարկվում է 8-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-30}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Բաժանեք -\frac{15}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{15}{8}-ը: Ապա գումարեք -\frac{15}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{15}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Գումարեք -\frac{7}{8} \frac{225}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Գործոն x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Գումարեք \frac{15}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$