Լուծեք (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=8$$

$$x=15$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(23-x\right)^{2}:

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 17 աստիճանը և ստացեք 289:

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Հանեք 289 երկու կողմերից:

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Հանեք 289 529-ից և ստացեք 240:

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$120-23x+x^{2}=0$$

Վերադասավորեք բազնաբդանտ՝ բերելով այն ստանդարտ ձևի: Դասավորեք անդամները բարձրից ցածր:

$$x^{2}-23x+120=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+120։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 120 է։

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -23 գումար։

$$a=-15 b=-8$$

Նորից գրեք x^{2}-23x+120-ը \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ -8-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Ֆակտորացրեք x-15 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-15=0-ն և x-8=0-ն։

$$x=15 x=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(23-x\right)^{2}:

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 17 աստիճանը և ստացեք 289:

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Հանեք 289 երկու կողմերից:

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Հանեք 289 529-ից և ստացեք 240:

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, -46-ը b-ով և 240-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-46-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 240:

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Գումարեք 2116 -1920-ին:

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Հանեք 196-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 թվի հակադրությունը 46 է:

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{46±14}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 46 14-ին:

$$x=\frac{60}{4}$$

Բաժանեք 60-ը 4-ի վրա:

$$x=15$$

Այժմ լուծել x=\frac{46±14}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 14 46-ից:

$$x=\frac{32}{4}$$

Բաժանեք 32-ը 4-ի վրա:

$$x=8$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=15 x=8$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(23-x\right)^{2}:

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 17 աստիճանը և ստացեք 289:

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Հանեք 529 երկու կողմերից:

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Հանեք 529 289-ից և ստացեք -240:

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$2x^{2}-46x=-240$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Բաժանեք -46-ը 2-ի վրա:

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Բաժանեք -240-ը 2-ի վրա:

$$x^{2}-23x=-120$$

Բաժանեք -23-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{23}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{23}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{23}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Գումարեք -120 \frac{529}{4}-ին:

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Գործոն x^{2}-23x+\frac{529}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Գումարեք \frac{23}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=15 x=8$$