Լուծեք (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x-3\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Համակցեք -12x և -10x և ստացեք -22x:

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Հանեք 25 9-ից և ստացեք -16:

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում:

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Գումարեք -16 և 23 և ստացեք 7:

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx+7։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 21 է։

$$-1,-21 -3,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -22 գումար։

$$a=-21 b=-1$$

Նորից գրեք 3x^{2}-22x+7-ը \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Դուրս բերել 3x-ը առաջին իսկ -1-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և 3x-1=0-ն։

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x-3\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Համակցեք -12x և -10x և ստացեք -22x:

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Հանեք 25 9-ից և ստացեք -16:

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում:

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Գումարեք -16 և 23 և ստացեք 7:

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, -22-ը b-ով և 7-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-22-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ 7:

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Գումարեք 484 -84-ին:

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Հանեք 400-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 թվի հակադրությունը 22 է:

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{22±20}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 22 20-ին:

$$x=\frac{42}{6}$$

Բաժանեք 42-ը 6-ի վրա:

$$x=7$$

Այժմ լուծել x=\frac{22±20}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 20 22-ից:

$$x=\frac{2}{6}$$

Նվազեցնել \frac{2}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{1}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x-3\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Համակցեք -12x և -10x և ստացեք -22x:

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Հանեք 25 9-ից և ստացեք -16:

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Հավելել 16-ը երկու կողմերում:

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Գումարեք -23 և 16 և ստացեք -7:

$$3x^{2}-22x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Բաժանեք -\frac{22}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{11}{3}-ը: Ապա գումարեք -\frac{11}{3}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{11}{3}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Գումարեք -\frac{7}{3} \frac{121}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Գործոն x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Գումարեք \frac{11}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$