Լուծեք (2x-3)^2=8(2x-3)+65

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } = 8 ( 2 x - 3 ) + 65$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-1$$

$$x=8$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x-3\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 2x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Գումարեք -24 և 65 և ստացեք 41:

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Հանեք 16x երկու կողմերից:

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Համակցեք -12x և -16x և ստացեք -28x:

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Հանեք 41 երկու կողմերից:

$$4x^{2}-28x+9-41=0$$

Հանեք 41 9-ից և ստացեք -32:

$$4x^{2}-28x-32=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x^{2}-7x-8=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-8։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-7 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -8 է։

$$1,-8 2,-4$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -7 գումար։

$$a=-8 b=1$$

Նորից գրեք x^{2}-7x-8-ը \left(x^{2}-8x\right)+\left(x-8\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(x-8\right)$$

Ֆակտորացրեք x-ը x^{2}-8x-ում։

$$x\left(x-8\right)+x-8$$

Ֆակտորացրեք x-8 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-8\right)\left(x+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-8=0-ն և x+1=0-ն։

$$x=8 x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x-3\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 2x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Գումարեք -24 և 65 և ստացեք 41:

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Հանեք 16x երկու կողմերից:

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Համակցեք -12x և -16x և ստացեք -28x:

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Հանեք 41 երկու կողմերից:

$$4x^{2}-28x+9-41=0$$

Հանեք 41 9-ից և ստացեք -32:

$$4x^{2}-28x-32=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -28-ը b-ով և -32-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

-28-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -32:

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+512}}{2\times 4}$$

Գումարեք 784 512-ին:

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

Հանեք 1296-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-28\right)±36}{2\times 4}$$

-28 թվի հակադրությունը 28 է:

$$x=\frac{28±36}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{28±36}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{28±36}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 28 36-ին:

$$x=\frac{64}{8}$$

Բաժանեք 64-ը 8-ի վրա:

$$x=8$$

Այժմ լուծել x=\frac{28±36}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 36 28-ից:

$$x=-\frac{8}{8}$$

Բաժանեք -8-ը 8-ի վրա:

$$x=-1$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=8 x=-1$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x-3\right)^{2}:

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 2x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Գումարեք -24 և 65 և ստացեք 41:

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Հանեք 16x երկու կողմերից:

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Համակցեք -12x և -16x և ստացեք -28x:

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Հանեք 9 երկու կողմերից:

$$4x^{2}-28x=41-9$$

Հանեք 9 41-ից և ստացեք 32:

$$4x^{2}-28x=32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-28x}{4}=\frac{32}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)x=\frac{32}{4}$$

Բաժանեք -28-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-7x=\frac{32}{4}$$

Բաժանեք 32-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-7x=8$$

Բաժանեք -7-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{7}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{7}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=8+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{7}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=8+\frac{49}{4}$$

Գումարեք 8 \frac{49}{4}-ին:

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{81}{4}$$

Գործոն x^{2}-7x+\frac{49}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{7}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=8 x=-1$$